小议弧度制

弧度制的概念是一个教学难点，许多人对弧度制概念的产生缺乏正确的理解。形成了我们教学上的困惑.如“为什么引进弧度制？”，“引进弧度制是为了研究三角函数吗？”，“为什么把等于半径长的弧所对圆心角叫做1弧度角？”等等.下面我们从弧度制发展产生的历史中，来寻找问题的答案.
一、弧度制的产生
60进位制起源于巴比伦，是1854年欣克斯(Edward Hincks，1792-1866)研究泥板上的楔形文字发現的，巴比伦人将圆周分为360等份，每份所对的圆心角叫做1度，1度有60分，1分有60秒。后来希腊的天文学家托勒密(Ptolemy，約公元100-170)所接受。利用这种方法他給出一个圆从 到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度。他将半径分为60等份，每一份分成60小份，每一小份再分为更小的份，照此类推。把这些小份依次叫做“第一小份”(拉丁文partes minutae primae)，“第二小份”(拉丁文partes minutae secundae)。以半径的 为单位，将已知角所对的弦长用该单位来度量. 以符号crdα 表示圆心角 所对的弦长， 例如 crd 36°=37p4'55"，意思是：36°圆心角的弦等于半径的 ，加上“第一小份”的 ，再加上“第二小份”的 . 弦表相当于从 每隔 的正弦函数表(如右图)，因为 . 后来“第一小份”变成了“分”(minute)，“第二小份”变成了“秒”(second)，成为现在角和时间的度量上“分”和“秒”这两个单位的起源。用“°”、“′”、“〞”表示度、分、秒，是1551年德国天文学家莱因霍尔(Erasmus Reinhold，1511-1553)开始的，这已是在托勒密之后1400年了。
公元6世纪，印度数学家阿耶波多(Aryabhata，476-550) 制作了第一象限内的每隔3°45′的正弦值表. 他计算半弦(相当于现在的正弦线)而不是希腊人的全弦。依照巴比伦和希腊人的习惯，把圆周分为360度，每度60分，整个圆周为21600分，然后由 ，得出 ,小数部分四舍五入便有 3438。先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦值表。其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。但阿耶波多没有明确提出弧度制这个概念
1748年，欧拉在他的名著《无穷小分析引论》中主张用半径为单位来量弧长.设半径等于1。那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。这就是現在的弧度制。
“弧度”(radian)一词，是爱尔兰工程师汤姆森(James Thomson，1822-1892)在1875年首先创用的。由radius(半径)与angle(角)两字合成。在1935年，我国的《数学名词》中，radian曾译为弪(弧与径两字合成)。1956年出版的《数学名词》废除此字，定为“弧度”。
1881年，学者哈尔斯特(G．B．Halsted)等用希腊字母ρ表示弧度的单位，1907年，学者包尔（G．N．Bauer)用r表示；1909年，学者霍尔(A．G．Hall)等又用R来表示．现在人们习惯把弧度的单位省略．
弧度的概念是数学家定义了三角函数 之后很多年才提出的.弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，即统一了度量角与长度的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。
二、弧度制与角度制的比较
2．1弧度制、角度制与实数的对应关系
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系.对于角度制，说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的度数；对于弧度制，说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数取这个角的弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数(弧度数)与之对应.反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数也都有惟一的一个角与它对应.
2．2两个概念刻画角的角度不同
角度与长度、面积、体积等概念类似，是刻画一个角张开的程度的大小。1度是周角平均分为360份的一份。弧度是圆心角所对的圆弧与半径的比值。虽然是一个不名数，但应当把它理解为名数，不能把它等同于相应的数，比如1弧度不等于实数1。
角度制把圆周长分成360分（其实分成其它份数也是可以的），带有一定的主观性，但比较直观；弧度制用圆心角所对的圆弧与半径的比值刻画角的大小，更客观、更科学.
角度制是10进制和60进制并用，而弧度制是10进制.
2．3弧度制的优点
(1)简化公式：如在弧度制下弧长公式和扇形面积公式有更简单的形式；
(2)方便作图：作三角函数图象时，三角函数的自变量常用弧度来度量，因为用弧度作单位，自变量表示到x轴的单位长度易于与表示函数值的y轴上的长度单位一致，这样可以通过图象直观准确地反映函数的对应关系.如果自变量用度来度量；由于度数制的单位1（ ≈0.0174）相对于实数1较小,这样画出来的三角函数图象不够直观,研究三角函数的性质也不方便.
(3)便于应用：三角函数自变量以弧度为单位，使三角函数具有了更广泛的意义，如用三角函数表示振动量时，自变量是时间.