数学，是一门让人变得“严谨、缜密、有逻辑”的学科。数学学习的每一次思考，都蕴含着个体的数学理解。这些个性化见解，通过数学表达进行传递。这就意味着学生可以借助数学表达，互相理解彼此的想法和意见，并且通过对话交流，分享学习过程，借鉴学习经验，深化数学理解；教师则可以通过数学表达，对学生的学习状况进行分析、判断，从而对其施以有效的学习帮助。“倾听”“思考”“表达”这几个数学学习的重要维度，你中有我，我中有你，彼此关联，密不可分，呈现为一种闭环结构。其中，“表达”作为“倾听”与“思考”的外显形态，不仅是增进个体数学理解、交流同伴数学认识的重要途径，更是支持数学深度学习、发展数学高阶思维的重要渠道。由此可见，培养数学表达能力是数学教学的核心任务，培养学生有思考、有道理、有深度的数学表达应成为数学教育的追求目标，成为数学核心素养落地生根的关键支柱。
追问：数学表达的内涵、意蕴与价值
提及培养表达能力，人们通常会觉得这是文科教学的要求和任务。这种片面的认识也无可厚非：语文教学四大关键任务——“听”“说”“读”“写”，无一不与表达相关。它以交际、传播为目的，以物、事、情、理为内容，以语言为工具，以听者、读者为接收对象。”可见，表达是把个体思维加工得到的对事物或问题的认识，通过外显的方式传递给他人，进行沟通与分享的一种行为。表达，一方面具有鲜明的个性特征，因为它是个体思维的产物；另一方面也具有公众性，因为它是为了与他人交流和沟通。
如何定义数学表达？近年来，随着对学生数学表达能力研究的不断升温，国内外学者也提出了关于数学表达的不同观点，以下尝试举出一些具有代表性的：
美国雪城大学教育学院院长路易丝·威尔金森这样解释“数学表达”：“是学生使用语言的多种表达方式，包括说话、书写、倾听、阅读等。数学表达不同于普通的语言表达，它使用的是一系列特定的数学词汇，如直径、斜边、垂直等……数学词汇很特殊，对问题的解释方式也是唯一的、不可替代的，这些都是数学表达的特点。”
王郢等人将“数学表达与交流能力”定义为：“将规范科学的数学语言灵活运用于个人言语，用最简明的能指表达内涵更为丰富的所指的能力。其中，数学语言包含数学符号、数学模型、数学图形语言，数学言语方式包括书面与口头方式，表达的对象包括内部的、自我的表达和外部的、对他人的表达。”
王珍等人将“数学表达”定义为：“将自己对数学的理解或在解决数学问题过程中的观点、思想、方法、过程等准确、流畅、有条理地运用恰当的形态表征出来的过程。这里的形式可以是语言（包括身体语言），也可以是文字、图形、符号等。”
潘小福将“数学表达”定义为：“以数学语言表达数学思维。数学语言可以归结为文字语言、符号语言和图形语言三类，而数学表达正是以这些语言形式为载体进行的书面语言活动或口头语言活动。”
综合以上观点不难发现，它们的表述方式或重点略有区别，但是对数学表达的理解则有如下趋于一致的共同特征：
1.表征数学思维。数学表达是一种交流与分享方式。个体在数学学习过程中产生的认识、观点，解决问题的思路、方法等都可以通过一定的外显形式进行传递，因此，数学表达蕴含着鲜明的个性特征，传递了个体的数学思考。
2.以数学语言为主要载体。数学表达是用语言传递思维，因此，在一般表达的基础上，更重要的是用符号、文字（书面或口头）、图形、表格等形式的数学语言展现数学思维。数学表达的过程，其实就是灵活运用数学语言并发展数学思维的过程。
3.支持深度学习。数学表达是将个体学习的所思所想，通过不同的表征形式分享、交流。这样的学习过程中有倾听、有思考、有评价、有质疑、有反思、有修正……因此，数学表达本身就是深度学习，不仅体现出理解性学习的特征，也蕴含着元认知思维、批判性思维、创造性思维等高阶思维的生长。
4.培养表达能力。数学表达培养的是学生熟练、灵活地运用数学语言表达数学思维的一种重要能力，是数学学科的关键能力。
可见，数学表达不仅是促使数学理解、数学思考走向深入的有效途径，更是深度学习的重要支撑，承载着分享观点、提升认识、发展能力的重要使命。通过表达有意识地培养学生的高阶思维能力，促使其有主次、有顺序、有逻辑地展开数学思考，学会多种方式表征，并能清晰、准确、连贯地向他人表达自己的观点；同时，在表达的过程中，通过分享他人意见，学会对不同观点分析判断、概括归纳，进行批判性思考，从而调整、修改、完善原有的数学认识。
探索：数学表达的特征、维度与内核
2019年6月3日，在“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛现场，展开了一场关于“数学表达”的深度研讨：通过切片扫描式的名师课堂研究以及参与卷入式的沙龙讨论，围绕核心话题，对数学表达的特征、维度与内核等进行了全面而深入的探索与思考。
寻找关键词：探讨数学表达的学科特征
“数学，需要怎样的表达？”这个话题，聚焦于探索数学表达的独有特征。所有的表达都离不开语言，语言作为通用的表达载体和工具，必然具有普遍性，但是，作为一门以培养学生理性思维为重要目标的教育学科，数学表达理应拥有学科特征，需要重点关注对发展学生思维和凸显学科本质的追求。
1.准确、简约。
数学表达更要关注表达内容的确定性，比如，观点是否明晰，论点是否确定，结论是否准确等；数学表达更多地借助于数学语言传递信息，因此，数学语言所具有的简约、精练、抽象、严谨等特征也成为数学表达的独有特点。课堂教学中，教师要有意识地帮助学生准确、灵活、熟练地使用数学语言（符号、文字、图表等）表达数学知识、解题方法、思考过程等，并熟练地进行日常语言和数学语言的切换；帮助学生捕捉数学语言中蕴含的丰富数学信息，充实数学语言词库，从而提高数学表达能力和水平。例如，教学“确定位置”，随着所学内容的不断深入，教师应该要求学生尝试运用多种数学语言，准确描述物体在平面内的具体位置。如对于班级中某个学生的座位，可以用文字描述，如“第5排第2个”；可以用数对描述，如“（5,2）”；可以画方格图用平面上的点表示；还可以用方向、角度、距离描述；等等。
2.条理、逻辑。
数学表达还需要关注阐述内容的合理性，即要有顺序、有条理、符合逻辑。数学表达不同于日常表达，更加重视运用数学语言进行有序、有理的逻辑论述。举例来说，作为日常生活中的概念，人们只要知道某个面的形状是长方形即可，并不需要知道长方形更深层次的性质和特征；而作为数学表达，则不仅要从直观层面明确长方形的性质和特征，更需要从抽象层面把握长方形的性质和特征，比如“四个角都是直角”“对边平行且相等”；随着学习内容的加深，表达的层次也应该更加深入，比如“有一个角是直角的平行四边形”“对角线相等且互相平分的四边形”“长方形是轴对称图形”，从而能够熟练运用这些性质和特征准确判断并识别长方形。因此，数学表达更强调“言”之有序、“言”之有理、“言”之有道。这种关键能力需要教师持之以恒地加以培养。而小学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对其数学表达能力的要求应该根据年龄阶段的特点循序渐进，逐步养成。
3.独创、深刻。
美国国家研究理事会（National Research Council）在2012年的报告中，提出了促进深度学习的六大策略，其中一条为鼓励阐述、质疑和自我解释。可见，独创、深刻的表达是走向深度学习的重要途径。数学表达，首先强调自我思考、自我阐述、自我解释，其次重视伙伴之间的交流、讨论、质疑、争辩。通过自我思考，通常会产生独特、原创的个人观点，而通过彼此意见的交流碰撞，则会对个人观点产生补充、调整和完善，促进认识深入。因此，思维的独创性和深刻性也是数学表达的显著特征。
发现落脚点：厘清数学表达的主要维度
厘清数学表达的维度，有助于教师在教学中找准培养数学表达能力的落脚点。从数学表达的层次划分来看，主要有以下四个维度：（1）自我阐释，指学生解释思考过程，阐释观点、结论等，这个维度的表达主要是将个体的想法传递给别人；（2）汇报交流，指学生在一定范围内通过表达进行交流，可以是小组交流、大组汇报等，这个维度的表达主要是分享、沟通、理解彼此思考的过程；（3）讨论质疑，指在汇报交流后，学生对不同观点之间的比较与评价，这个维度的表达更重视在自我思考的基础上，结合不同的观点产生新的想法，是引发深度思考的重要一环；（4）理性思辨，指在讨论质疑后，学生通过思考和判断，重新生成对数学问题的深度认识，这个维度的表达往往伴随着高阶思维（如元认知思维、批判性思维、创造性思维等）的产生。
明确发力点：聚焦数学表达的关键内核
诚如斯托利亚尔所言：“数学教学也就是数学语言的教学。”从某种角度来看，数学教学的过程其实就是帮助学生掌握数学语言、进行数学表达的学习过程。数学语言是传递数学理解、交流数学思考的载体和工具。而数学表达是一种基于学习理解和数学思考并以数学语言为重要载体的交流与对话，其关键内核是其中蕴含的思维发展。因此，数学表达是有思考、有道理、有深度的表达。抓住思维发展的关键内核，就抓住了培养数学表达能力的发力点，有助于教师知道在什么地方需要花时间、值得下功夫。这样的认识将改变教师教学的理念和行为。例如，他们会更重视考查学生对数学问题的理解和解决问题的思考过程，通过不同形式的数学表达了解学生是否真正掌握了数学知识,以及能否灵活迁移应用等。因此，他们会更重视问题答案背后隐含的数学思考，会更多地采用“表达出你的思考过程，并且想办法让别的同学听明白”或者“你是如何理解的？请尝试用不同方式表达你的想法”等提问方式，进行数学表达能力的针对性训练和培养。
