小数的产生和发展
小数的产生有两个前提:一是十进制记教法的使用,二是分数概念的完善。小数的出现标志者十进制记数法从整数扩展到了分数,使分数与整数在形式上获得了统一。
我国对小数的认识在世界上是最早的。公元263年左右,我同魏晋时期的数学家刘徽在注释(九章算术)中处理平万根问题时就提出了十进小教。刘徽说:“......凡开积为方...... 求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细....”
这段话有如下含义: = 1 * GB3 ①在求一个数的平方根时,如果求得平方根的个位后,被开,数仍未开尽、这时可以采取继续开方,求出其“微数”。所谓“微数”即微小的数。也就是整数以下小数部分的统称。②“微数”的表示方法有两种:一是署名, 用比整数单位更小的单位来表示;二是以十进分数表示,其分子是继续开方时求得的各数,分母分别是十、百、千...... = 3 * GB3 ③十进分数的表示具有无限性。这三层含义完整地揭示了十进分数,即小数的本质。
我国十进小数的表示法,后来影响到印度。古代印度数学家在开平方开不尽时,也采取刘徽提出的继续开方的办法。他们将小数部分的各数分别用圆圈圈出,以示与整数区别。例如,42.56 表示为42⑤⑥。这种方法后来又影响到中亚和欧洲。
虽然我国对小数的认识远远早于欧洲,但现代数学中所使用的小数的表示法却是从欧洲传入我国的。欧洲关于十进小数的最大贡献者是荷兰数学家斯蒂文(Stevin, 1548 —1620年)。他从制造利息表中体会到十进小数的优越性,因此竭力主张把十进小数引进整个算术运算中去,使十进小数能有效地参与记数。不过,斯蒂文的小数记法并不高明。如139.654,他写作139⊙6①5②4③,每个数后面圈中的数是用来指明它前面数字位置的。这种表示方法,使小数的形式复杂化,并且给小数的运算带来很大的麻烦。1592年,瑞士数学家布尔基( Burgi, 1552-- 1632 年)对此作出了较大的改进。他用一个空心小圆圈把整数部分和小数部分隔开,比如把36.548 表示为36。548, 这与现代的表示法已极为接近。大约过了一年,德国的克拉维乌斯(Clavius, 1537-1612年),首先用黑点代替了小圆圈。他在1608年发表的《代数学》中,将他的这一做法公之于世。 至此,
小数的现代记法才被确立下来。
1617年,英国数学家纳皮尔(Napier, 1550-1617年)提出用逗号作分界记号。这种做法后来在德、法、俄等国广泛流传。我国在18世纪时笔算逐渐代替了筹算,西方的小数记法也传了进来。1723 年,由康熙( 1654- 1722年)主持编纂的《数理精蕴》中就出现了小数点记号,比如将345.67 写作三四五.六七,把小数点放在整数部分的右上角。但是这种记法在当时没被普遍采用,直到19世纪后期小数的现代形式才在国内普遍流行起来。