教学内容：

五年级上册第108～109页

 

教学目标：

1.利用格点图使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数之间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

 

教学重点：

利用格点图探索钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系。

 

教学难点：

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

 

教具准备：

    课件、作业单。

 

教学过程：

一、引发猜想

导入：连接格点图上的格点我们就可以在上面画出一些图形。（在格点图上画出两个多边形）

仔细观察，你觉得格点图上多边形的面积的大小可能和什么有关系？

引导学生发现格点图上多边形的面积的大小可能和边上的格点数有关。（板：面积  边上的格点数）

 

二、分层探索

（一）引导尝试，初步感知。

同学们根据观察，提出了“猜想”，猜想正不正确，我们还要想办法验证。（出示例题四个多边形）

1.数数算算，完成表格

序号	面积/平方厘米	多边形边上的格点数/个
①
②
③
④

 

 

 

 

 

 

（1） 请大家观察这几个多边形，它们的面积分别是多少？

先独立算一算，再请同学依次说说每幅图分别是怎么算的。

（2）“面积”已经知道了，刚才我们同学猜测面积和什么有关？(多边形边上的格点数)

   引导学生数一数边上的格点数。

   学生汇报，教师同时将表格补充完整。

2.观察表格，引导发现

引导：观察表格，你能看出这些多边形的面积和边上格点数的关系吗？

交流：你发现这里的多边形面积和边上的格点数有什么关系？

（多边形的面积＝多边形边上的格点数÷2/多边形的面积是多边形边上的格点数的一半）

说明：这样说起来比较麻烦，数学追求简洁美，怎样能简洁地表示出我们刚才的发现呢？

面积我们一般用S表示，如果用n表示多边形边上的格点数，那刚才发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：S ＝n÷2

3. 观察比较，反思质疑

（1）引导：这个结论只是由老师提供的这几幅图中得到的，是不是正确的呢？还要进一步验证。

有什么办法验证？（引导学生再找个图形来验证一下是不是符合这个规律。）

学生画图验证。

（2）汇报：依次出示符合规律的图形和不符合规律的图形。

追问：为什么有的图形符合规律，有的不符合规律？

讨论后明确：符合规律的多边形内部的格点数都为1，不符合规律的多边形内部的格点数不是1。

（3）小结：看来，多边形的面积不仅和多边形边上的格点数有关，还与多边形内部的格点数有关。也就是说，这个规律要成立，得有个前提：多边形内部的格点数是1。

（4）说明：我们可以用a表示多边形内部的格点数，也就是说当a＝1时，S ＝n÷2。（在上面得出的关系式前补充板书：a＝1）

（二）继续研究，拓展认识。

1．提出问题，明确方法

引导：好了，同学们，刚才我们发现了多边形内部是1个点的规律。那接下来我们该研究……（内部是2个点的规律）（板a＝2）

你准备怎么研究这个问题？

引导学生明确研究方法：先画几个内部是2个格点的多边形，数数它们的面积和边上的格点数，再看看面积和边上的格点数有什么关系。

2.各自画图，探究规律

（1）分小组画图，探究规律。

（2）汇总数据，总结规律。

     分小组展示所画图形，并将数据汇总到表格。

引导：我们来看一看表格中的数据，你们发现面积和边上的格点数有什么关系？

 边汇报边板书：a＝2时，S ＝n÷2＋1

（三）引导猜想，概括规律。

1．引发学生猜想。

（1）提问：上面发现图形内部格点数a＝1时，S ＝n÷2；a＝2时，S ＝n÷2＋1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3个点，它的面积与边上格点数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a＝3，S ＝n÷2＋2  ）

（2）还能继续往下猜吗？

根据学生回答板书：a＝4，S ＝n÷2＋3 ， 

                  a＝5，S ＝n÷2＋4 

    ……

  如果a＝0呢？板：a＝0, S ＝n÷2－1

2．画图举例，验证猜想。

（1）引导：当然，这些只是根据已经发现的规律进行的推理，对不对呢？我们还要进一步验证。

（2）提问：你们打算怎样验证？（明确验证方法）

学生分组活动。

（3）交流汇报，在汇报中肯定刚才的猜想。

3．小结

看来，格点图上多边形的面积不仅和多边形边上的格点数有关，还和多边形内的格点数有关。

（四）拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：

 a＝0  S ＝n÷2－1

a＝1  S ＝n÷2

           a＝2  S ＝n÷2＋1

a＝3  S ＝n÷2＋2

……

提问：这么多规律，能不能用一个规律来表示呢？

    引导学生归纳，得出规律：S ＝n÷2＋（a-1）。

 

（五）揭示课题

今天我们研究了面积和格点之间的关系（板：面积和格点），我们再来看看这个图，它让你想起了我们用过的什么？（钉子板）其实，这样的格点图上画多边形和在钉子板上围多边形是一个道理（补全课题：钉子板上的多边形）。

 

三、实际应用

1．（出示一开始的两个图形）让我们回过头来再看看这2幅图，能用我们发现的规律来算一算吗？

有了规律的帮忙，我们就可以将复杂的问题变简单。

2．现在就让我们运用规律，快速求出钉子板上图形的面积吧。（依次出示）

算之前要数什么？

谁来列式算出它的面积？

3．课后，同学们回去以后可以用钉子板也来围一围多边形，然后和爸爸、妈妈比比赛，看谁能很快算出多边形的面积。