课堂自主探究，提升数学能力

——《比例的基本性质》案例分析

在数学学习中，很多新知识都适合学生自主探究习得。学生在自主探究时，会经历猜想——验证——总结——应用的四步过程。猜想验证也是一种重要的数学思想方法，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它能缩短学生解决问题的时间，能获得学生数学发现的机会，能锻炼学生的数学思维。因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以激发起学生的学习热情，激活思维,使学生主动探索，从而获取数学思想方法。下面以《比例的基本性质》为例，谈谈在猜想验证的思想方法在数学教学中的渗透。

一、感知——播撒思想方法的种子 。

感知是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。心理学也研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。

片段一：

刚才我们认识了比例各部分的名称，瞧！老师这里也有一个比例“12∶（    ）=（    ）∶2”，不过它的两个內项看不清了，根据比例的意义想一想，这两个内项可能是哪两个数？在作业纸的反面写一写。（指名回答板书比例）

追问：正确吗？为什么？还有不同答案吗？你能举出内项不是整数的例子吗？像这样，两个外项是12和2的比例，写得完吗？

生回答，教师板书

12 :   3  ＝ 8  : 2

12 :  4   ＝ 6  : 2

12 : 0.5  ＝ 48 : 2

12 :     ＝ 32 : 2

……

片段一正是在学生通过大量的思考，举出了多种例子的情况下再来进行研究的，前面已经有大量的两个外项是12和2，内项是多少的例子，学生在举例的过程中经历了动脑、感知过程，已有的感知能促使学生形成初步的猜想。我国著名科学家钱学森认为：“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工活动,是在潜意识中酝酿问题然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案。”

二、假设——展开猜测思想方法的翅膀 

假设就是对所感知的事物做出初步的未经证实的判断，它是学生获取数学知识过程中的重要环节。

片段二：猜想：仔细观察这些比例的外项和内项，猜想一下，可能有什么规律？（板书：猜想）

波利亚有这样一段精彩的论述：“我想谈一个小小的建议，可否让学生在做题之前猜想该题的结果或部分结果，一个孩子一旦表示出某种猜想，他就把自己与该题连在一起，他会急切地想知道他的猜想是否正确。于是，他便主动地关心这道题，关心课堂的进展，他就不会打盹或搞小动作。”在片段二的教学中，我就遵循这一特点，用简单的一句话，“仔细观察这些比例的外项和内项，猜想一下，可能有什么规律。”让学生进行大胆的猜想。

三、验证——把握思想方法的方向 

数学的思想方法是数学的灵魂。波利亚说过“数学首先是猜想，然后才是证实。”不同的学生会有不同的猜想，但都是学生的主动思维的过程，都包含着创新因素。学生为了证明自己所猜的正确，开动脑筋，想尽办法，形成了“人人参与、人人有体验、人人成功”的氛围。

片段三：

刚才只是大家的猜想，在数学学习中，不仅要猜想，还要学会验证。

（1）是不是所有的比例都有这样的规律呢？需要我们去举例验证。（板书：验证）那么咱们就分小组进行验证，先看小组合作要求：

（2）小组合作要求：

①前后4个同学为一个小组；

②每个同学写出一个比例，小组内交换验证，看看其他人写的比例的两个外项的积是不是等于两个內项的积；

③通过举例验证，你们能得出什么结论？

师行间巡视，拿出学生所写的比例。

指名汇报

在片段三的教学中，老师指出：“刚才只是大家的猜想，在数学学习中，不仅要猜想，还要学会验证。”是不是所有的比例都有这样的规律呢？需要我们去举例验证老师要求大家用举例的方法验证，学生为了证明自己的猜测，思维马上活跃了起来，都希望通过亲身操作，举出大量的例子验证了自己的猜想。

四、归纳——收获思想方法的果实 

新课标要求：“课堂教学不再是教师会教，而是学生会学”也就是学生学会思考，会归纳、会总结。因此，教师应该引导学生在学习过程中主动、自觉地归纳、总结出知识的规律。

片段四：

把两个外项相乘，两个内项相乘，你们得出的结论是什么？

同学们，你们大量的例子归纳出的规律和数学家的发现不谋而合，（板书：总结）他们也发现“比例中，两个外项的积等于两个内项的积”这样一个规律，并给他起了个名字，叫做比例的基本性质。（完善板书：比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）

（教师故意将比例写成分数形式）哪两个是比例的外项，哪两个是比例的内项？两个外项相乘，两个内项相乘，怎么乘？把比例写成分数形式，比例的两个外项相乘，两个内项相乘，就是把等号两端的分子、分母分别交叉相乘，结果相等。

小结：同学们，通过刚才的学习，我们知道了在比例中，把比例的两个外项相乘，再把比例的两个内项相乘，他们所得的积是相等的。

如果用字母a、b、c、d表示比例的四个项，即a:b=c:d（板书：a:b=c:d），那么，比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，可以怎么表示？（指名回答 板书ad=bc或bc=ad）

验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳概括出知识结论。如片段四，老师请学生通过小组合作的形式汇报了通过验证所发现的规律，先在小组中达成共识，再通过汇报，全班达成共识。同时还把比例写成分数的形式，请学生思考在分数形式中，两个外项之积等于两个内项之积，如何表示。用字母表示比例中的四个项，比例的基本性质又该怎样表示。这样，又进一步加深了学生对比例的基本性质这一知识的理解。

五、应用——体会数学思想的价值，

应用是数学课堂教学的一个重要组成部分,对学生巩固所学知识、形成技能技巧、发展思维能力起着重要作用,也是减轻学生课业负担的重要途径。

片段五：

同学们，刚才我们通过猜想、验证、归纳出了比例的基本性质，那么你能运用它解决一些问题吗？（板书：应用）

1、根据比例的基本性质，判断下面的两个比能否组成比例吗？（课件出示练习）

学生试做

你是怎么判断的？（指名、展示学生作业）

这些比，能组成比例吗？运用比例的基本性质，进行判断。

生独立完成，指名汇报

相机强调：先假设这两个比能组成比例，再把两个内项相乘、把两个外项相乘，看看积是否相等。

咱们又学会了一种新的方法根据两个外项的积等于两个内项的积去判断两个比能否组成比例，你能运用今天或者以前所学的方法，在括号里填上合适的数吗？（出示练习）

生独立完成

你是怎么填的？（指名说，课件出示答案）

3、探究题：

根据比例的基本性质，我们能看着比例写出两个外项的积和两个内项的积，如果知道两个外项的积和两个內项的积，你会写比例吗？

思考：（课件出示）六年级智聪同学根据两个外项的积等于两个内项的积“2×9＝3×6”写出了比例，猜猜他可能是怎么写得？（指名说，说出不同的比例）到底能写几个，有什么窍门呢？小组里面商量一下，写一写。

追问：根据两个外项的积等于两个内项的积，一共可以写多少个比例？（小组汇报）

2                    9          9                      2

3                    6          6                      3

在片段五的教学中，在练习1运用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，在判断过程中，学生需要运用假设——验证的这一数学思想方法，这一题的设计不仅是对比例基本性质这一知识的的巩固，而且也对本节课做渗透的数学思想方法进了巩固。在练习3的教学中，学生不仅要能根据比例的基本性质，写出相应的比例，也需要运用假设-验证这一数学思想方法，先假设2、9为内项，写比例，再假设3、6为内项写比例。这样不仅巩固了比例的基本性质的知识，更加深了学生对于假设验证这一思想方法的理解和运用。

牛顿说过：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”布鲁纳也认为：“学习者在一定的问题情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西。”

首先实践证明，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法。这样，无疑会让学生在心理上产生一种极大的满足感，增强学好数学的信心。其次自主探究的课堂激发了学习的主动性和参与性，从而更好地发展创造性思维，提高学生自主学习与分析解决问题的能力。所以在数学教学中，我们要根据知识本身的特点，选取出所有适合学生自主探究的内容，把课堂还给学生，让他们经历猜想——验证——总结——应用的过程，掌握数学学习的方法，“授之以渔”。